নুড়ি সরানোর খেলা ও গোল্ডেন রেসিও

নীলাব্জ চ্যাটার্জি

(University of Oslo)

 

08 May 2017

Link: https://bigyan.org.in/golden-ratio

যাকে ‘গোল্ডেন রেসিও’ বলা হয়, সে এক অদ্ভুত সংখ্যা। বিবিধ সমস্যার মধ্যে থেকে সংখ্যাটি বারেবারে বেরিয়ে আসে। সেই রকমই একটি সমস্যার কথা লিখছেন নীলাব্জ চ্যাটার্জী।

সংখ্যার রাজত্বে রহস্যের হাতছানি চিরন্তন। ছোটবেলায় 0, 1, 2, 3, … ,9 শেখার পরপরই আমরা শিখি এই দশটি সংখ্যা (digit)-কে ব্যবহার করে পূর্ণ সংখ্যার (natural numbers) অসীম দিগন্তে বিচরণ করতে। ব্যাপারটা খুব সহজ। “0” এর সাথে “1” যোগ করে “1”, “1” এর সাথে “1” যোগ করে “2”, … ; এইভাবেই এক পা এক পা করে সমস্ত পূর্ণ সংখ্যা শেখা। এর ঠিক পরে পরেই জানা যায় এই পূর্ণ সংখ্যাগুলি দু’ধরণের: জোড় (even) এবং বিজোড় (odd)। এই অবধি শেখার পরই যদি জিজ্ঞাসা করা হয় “আচ্ছা!! 2, 4, 6, 8, 10, … এই শ্রেণীতে 10 এর ঠিক পরের সংখ্যাটা কী ?” বা “বলো দেখি 1, 3, 5, 7, 9, … এই শ্রেণীতে 9 এর ঠিক পরের সংখ্যাটা কী ?”, তাহলে চোখের নিমেষে উত্তর চলে আসবে 12 (প্রথম শ্রেণীর ক্ষেত্রে) বা 11 (দ্বিতীয় শ্রেণীর ক্ষেত্রে), কারণ প্রথমটি জোড় ও দ্বিতীয়টি বিজোড়ের শ্রেণী।

শুরুতেই বলেছিলাম রহস্যময় সংখ্যাজগতের কথা। এইরকমই এক রহস্যের বিষয় হলো একটি বিশেষ ধরণের সংখ্যার শ্রেণী : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … । তোমরাই একটু ভেবে বলো তো এই শ্রেণীটার বিশেষত্ব কী? তোমাদের যদি জিজ্ঞাসা করা হয় এই শ্রেণীতে 21 এর পরের সংখ্যাটা কী হবে? তাহলে তোমাদের উত্তর কী হবে? এই অবাক করা শ্রেণীটি ঐতিহাসিকভাবে ভারতীয় গণিতচর্চার ফসল হলেও ইউরোপীয় বিজ্ঞানের জগতে (পরবর্তীকালে বিশ্ব গণিতের প্রাঙ্গনেও) এটি চিরস্থায়ী হয়ে রয়েছে “ফিবোনাচ্চি শ্রেণী” (Fibonacci Sequence) হিসেবে^১। এ’কথা প্রমাণ করা যায় যে ফিবোনাচ্চি শ্রেণীর n-তম (“n” একটি পূর্ণ সংখ্যা) সংখ্যাটি যদি “f_n” হয়, তা’হলে তা’র সাংখ্যমান হলো:

চটপট “n” এর জায়গায় 1, 2, 3, 4, 5, … বসিয়ে একবার দেখে নাও তো পরপর 1, 1, 2, 3, 5, … সংখ্যাগুলো পাচ্ছো কিনা !!

যাকগে, “ফিবোনাচ্চি শ্রেণী” নিয়ে গল্প নাহয় অন্য কোনদিন করা যাবে। আজকের গল্পের নায়ক হলো ওপরের ওই আজব ফর্মুলার প্রথম ভগ্নাংশটা, অর্থাৎ:

যা গণিতের জগতে “সোনালী অনুপাত” বা “গোল্ডেন রেসিও” (Golden Ratio) নামেই পরিচিত। এতো গেলো নায়কের কথা। কিন্তু এই গল্পের চিত্রনাট্যের বিষয়বস্তুটা তাহলে ঠিক কী ??

চিত্রনাট্যটি আমাদের স্কুলজীবনের ক্লাসঘরের একটি খেলা নিয়ে, যা নুড়ি কুড়িয়ে কুড়িয়ে তোমরা অনেকেই হয়তো ধাঁধার মতো করে খেলে বাহবা কুড়িয়েছো। খেলাটি এইরকম:

“দুই বন্ধুর সামনে দুটি নুড়ির সংগ্রহ রাখা আছে। একটিতে “a” এবং আরেকটিতে “b” সংখ্যক নুড়ি আছে (যেখানে a, b দু’টিই পূর্ণ সংখ্যা এবং a, b-এর চেয়ে বড়)। খেলার নিয়মটি হলো: দুই বন্ধু একবার একবার করে (alternately) যে কোনো একটি নুড়ির সংগ্রহ থেকে ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার নুড়ি তুলে নিতে পারবে। কিন্তু এই নিয়মের মধ্যে লুকিয়ে থাকা মজাটা হলো, যে কোনো সংখ্যক নুড়ি তোলা যাবে না। কোনো সংগ্রহ থেকে কেবলমাত্র অপর সংগ্রহে অবশিষ্ট নুড়ির গুণিতক সংখ্যক (একগুণ, দ্বিগুণ, …) নুড়িই তোলা যাবে (অর্থাৎ একটি সংগ্রহে তিনটি আর অপর সংগ্রহে দশটি নুড়ি থাকলে কোনো এক বন্ধু ওই দশটি নুড়ি থেকে তিন / ছয় / নয় যে কোনো সংখ্যক নুড়ি তুলতে পারে)। তাদের মধ্যে যে, কোনও একটি সংগ্রহের শেষ নুড়িটি তুলে নেবে, সেই-ই বিজয়ী হবে।”

এই খেলার প্রেক্ষাপটে গাণিতিক প্রশ্নটি হলো এরকম : (a , b) এই জোড়াটির ওপর কি শর্ত চাপালে দুই বন্ধুর মধ্যে প্রথম যে নুড়ি তুলবে, সেই-ই জিতবে?? আরো সহজ করে বলতে গেলে “a” ও “b” এর মধ্যে কি এমন গাণিতিক সম্বন্ধ থাকতে পারে যাতে যে-ই প্রথম নুড়ি তুলুক সে-ই জিতবে ?? একটু ভেবে দেখো তো। কিছু শর্ত বের করতে পারো কিনা!!

যারা অনেক ভাবার পরেও পথ খুঁজে পাচ্ছো না তাদের বাঁচাতেই রঙ্গমঞ্চে ওই “গোল্ডেন রেসিও”র আবির্ভাব। সমস্যাটির সমাধানের পথে হাঁটার আগে কিছু ভাষার গোলযোগ পরিষ্কার করে নিই পাঠকবন্ধুদের সাথে :

• দুটি সংগ্রহে যদি “i” ও “j” সংখ্যক নুড়ি থাকে কোনো একটি মুহুর্তে তাহলে সেই সময়ের খেলাটির অবস্থার পরিচায়ক হলো (i , j)-এই জোড়াটি, অর্থাৎ খেলার অবস্থা (i , j) বললে বুঝবো একটি সংগ্রহে “i” টি, অপর সংগ্রহে “j” টি নুড়ি আছে। বলা বাহুল্য (i , j) এবং (j , i) একই অবস্থার পরিচায়ক।
• খেলার অবস্থা (i , j)-তে এসে যদি দেখা যায় কাঙ্খিত “শর্ত” মানা হয়ে যাচ্ছে, অর্থাৎ এইবার যে নুড়ি সরাবে সে জিততে চলেছে, তাহলে সেই অবস্থাকে বলবো “বিজয়ী অবস্থা”।

কাগজ-কলমে হিসেব শুরু করার আগে গুরুত্বপূর্ণ কিছু পর্যবেক্ষণ করে নেওয়া যাক :

• (i , j) বা (j , i) এই অবস্থাদুটি হয় দু’টিই “বিজয়ী” অথবা দু’টিই “পরাজয়ী” (অর্থাৎ বিজয়ী নয়)।
• একটি অবস্থা (i , j) বিজয়ী হবে কিনা, তা নির্ভর করছে তাদের অনুপাত (i/j)-এর  উপরে।
• সুতরাং, যদি আমরা বিজয়ী অবস্থাগুলোর জন্য দায়ী ধনাত্মক মূলদ সংখ্যা (i/j)-দের খুঁজে বার করতে পারি তাহলেই আমরা সমাধান পাবো।
• যে খেলার বর্ণনা উপরে দেওয়া হয়েছে, তা’তে যদি a/b কখনো পূর্ণ সংখ্যা হয় , তাহলে সেটি একটি বিজয়ী অবস্থা।

এবার তোমাদের কাছে এই জেতার রহস্যটা ফাঁস করার সময় হয়েছে। ফলাফলটি কিছুটা এরকম :

একটি অবস্থা (a , b) বিজয়ী অবস্থা হবে যদি এবং কেবলমাত্র যদি (iff / if & only if)^২ 

অর্থাৎ, দুটি সংগ্রহে নুড়ি সংখ্যা: “a” এবং “b”-এর অনুপাত (যেখানে a, b-এর চেয়ে বড়) যদি “গোল্ডেন রেসিও”-এর চেয়ে বড় হয় তাহলে সেই অবস্থা (a , b)-টি একটি বিজয়ী অবস্থা হবে। আবার কোন একটি অবস্থা (a , b) যদি বিজয়ী অবস্থা হয় তা’হলে দু’টি সংগ্রহের অনুপাত “গোল্ডেন রেসিও”-এর চেয়ে বড় হবে।

এই বক্তব্যের প্রমাণটা তেমন বড় বা কঠিন না। ঠান্ডা মাথায় চেষ্টা করলে তোমাদের মধ্যে অনেকেই পারবে। চিন্তা-ভাবনা শুরু করার জন্য কেবল মাথায় রাখো কোনো একটা অবস্থা (i , j) থেকে খেলা শুরু হওয়ার অর্থ হলো : i/j বা j/i এর মধ্যে যে ভগ্নাংশটি বড় তা’র থেকে একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এমনভাবে বাদ দিতে হবে, যাতে বিয়োগফলটা শূন্য বা তা’র চেয়ে বড় হয়। আর খেলা শেষ হওয়ার অর্থ হলো : খেলায় অংশগ্রহণকারী দুই বন্ধুর কেউ একজনের ক্ষেত্রে এই বিয়োগফলটা শূন্য। এখন তোমাদের মগজাস্ত্রে শাণ দেবার পালা। পুরো প্রমাণটা করতে পারলে আমাদের জানিও এই ঠিকানায়: [email protected]।

এবার বোঝা গেলো? কেন আমি “গোল্ডেন রেসিও”-কে এই খেলার নায়ক বলছিলাম বারবার!! উৎসাহী পাঠকবন্ধুরা এই “ফিবোনাচ্চি শ্রেণী” এবং “গোল্ডেন রেসিও” সম্বন্ধে আরও জানতে অবশ্যই নিচের বইগুলো অবশ্যই পড়তে পারো :

1. The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems : Number Theory, Algebra, Geometry, Probability, Topology, Game Theory, Infinity, and Other Topics of Recreational Mathematics by Martin Gardner .
2. Mathematical Morsels by Ross Honsberger, Mathematical Association of America Publishers.
3. Mathematical Miniatures by Svetoslav Savchev & Titu Andreescu, Mathematical Association of America Publishers

টীকা:

[১] ফিবোনাচ্চি শ্রেণী := 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … এই শ্রেণীটিকে গণিতশাস্ত্রে “ফিবোনাচ্চি শ্রেণী” বলা হয়ে থাকে। এই শ্রেণীর n-তম (এখানে ) সংখ্যাটিকে f_n দ্বারা প্রকাশ করা হয়, তা’হলে f_n = f_n-1+f_n-2 এবং f₁=1, f₂=1। অর্থাৎ, এই শ্রেণীর পরপর দু’টি সংখ্যাকে যোগ করলে আমরা তৃতীয় সংখ্যাটি পাবো।

[২] iff / if & only if := এটা গণিতশাস্ত্রের এক বহুল প্রচলিত পরিভাষা। বঙ্গানুবাদ করলে দাঁড়ায় যদি এবং কেবলমাত্র যদি। অর্থাৎ, যদি দুটি বক্তব্য (Statement) আগে থেকে প্রদত্ত থাকে এবং বোঝানোর সুবিধার্থে যদি ধরে নি যে বক্তব্যদু’টি হলো “A” এবং “B” , তাহলে আমরা গণিতের ভাষায় “A if & only if B” তখনই বলবো যদি “A” কে সত্য বলে ধরে নিলে “B”-এর সত্যতা প্রমাণিত হয় এবং উল্টোদিক থেকে “B” এর সত্যতা কল্পনা করলে “A”-এর সত্যতা প্রমাণিত হয়। এই ঘটনাটিকে “A if & only if B” বা “A iff B” বা “A ⇔ B” দ্বারা সংক্ষেপে প্রকাশ করা হয়।  
লেখক পরিচিতি: নীলাব্জ চ্যাটার্জী বর্তমানে ইউনিভার্সিটি অফ অসলো-তে গণিত বিভাগে পি.এইচ.ডি ছাত্র এবং ‘বিজ্ঞান’-এর স্বেচ্ছাসেবক।

প্রশ্ন পাঠান এই লিঙ্কে ক্লিক করে।

‘বিজ্ঞান’-এ প্রকাশিত লেখার বাছাই সংকলন ‘বিজ্ঞান পত্রিকা’ ডাউনলোড করুন।

লেখাটি অনলাইন পড়তে হলে নিচের কোডটি স্ক্যান করো।

Scan the above code to read the post online.

Link: https://bigyan.org.in/golden-ratio

print