ধাঁধকি টাঁড়: উত্তর
মূল ধাঁধাগুলো এখানে রয়েছে।
[১]
পৃথিবীর বুকে দক্ষিণে হাঁটছ? তবে তুমি কোনো দ্রাঘিমারেখা ধরে হাঁটছ নির্ঘাৎ।
দক্ষিণে এক ক্রোশ গেলে তুমি মাড়িয়ে তারপর পুব দিকে যেতে চাও ? তার মানে কোনো এক অক্ষরেখা ধরে চলেছ।
তারপর পুবে গেলে এক ক্রোশ হন হন শেষধাপে উত্তরে যাবে? তবে আবারও কোনো দ্রাঘিমারেখা ধরেই চলেছ তুমি।
শেষমেশ উত্তরে এক ক্রোশ হন্টন। তুমি ফিরতে চাও শুরুর বিন্দুতে। অর্থাৎ D এবং A বিন্দুকে মিলতে হবে।
তাহলে মোদ্দা ব্যাপার হল, দুটো দ্রাঘিমারেখাকে উত্তরের দিকে এক বিন্দুতে জুড়ে যেতে হবে। তবে তুমি ফিরতে পারবে শুরুর স্থানে।
(উত্তর দিকে? পশ্চিম থেকে পুবে যে অক্ষরেখা ধরে গিয়েছিলে, তার উত্তরে।)
সোজা উত্তর
উত্তর মেরু (দক্ষিণ মেরু নয় কেন?) নট সো সোজা উত্তর: তুমি দক্ষিণ মেরুর কাছে একটা অক্ষরেখাকে বেছে নিলে যার পরিসীমা এক ক্রোশ। নাম দিলাম সুন্দররেখা।
সুন্দররেখা … পরিসীমা ১ ক্রোশ… দক্ষিণ মেরুর কাছে (এমন একটা অক্ষরেখা পাবোই পাবো? Intermidate Value Theorem.. কি যে বলে…)
এবার সুন্দররেখা থেকে এক ক্রোশ উত্তরের অক্ষরেখার থেকে যে কোনো বিন্দু থেকে তুমি শুরু করতে পারো।
মেফিস্টোফিলিস উত্তর
এমন আরো অনেক (অনেক অনেক) বিন্দু আছে। তারা কারা?
[২]
কার সুখ পরশে? ধরা যাক, সেই অজানা হল
।
সোজা উত্তর
“যদি দাও এক যোগ”, অর্থাৎ:
“ডিগবাজি খাবে সে”, অর্থাৎ:
বাকিটুকু জলবৎতরল। ধাঁধা অনুযায়ী এই সমীকরণটা সত্যি:
যার মানে দাঁড়ায়:
অর্থাৎ:
অথবা
মেফিস্টোফিলিস উত্তর
নিয়ে আমাদের কারবার। অর্থাৎ আমরা এই অপেক্ষকটির:
একটি ধার্য বিন্দু (Fixed Point: অর্থাৎ
) খুঁজছি।
আপাতদৃষ্টিতে আর পাঁচটা অপেক্ষকের মতই লাগলেও উপরের অপেক্ষকটি একটু ঘোরালো ধরনের।
নীচের অবিরত ভগ্নাংশটির (ছোট্টবেলার সিঁড়িভাঙা অঙ্ক) দিকে তাকানো যাক:
অবিরত ভগ্নাংশটির (Continued Fraction) মধ্যে আমাদের
লুকিয়ে আছে। কেমন করে? অবিরত ভগ্নাংশটির মান কত? ধরা যাক এর মান হল
এবার লক্ষ্য কর, গোল্লা করা অংশটিও তো আসলে
এমনি ভাবে অগণ্যবার (Infinite Times) করলে, আমরা কোন সংখ্যায় গিয়ে পৌঁছব? মজার ব্যাপার হল, ওই ফাঁকা জায়গাতে যেকোনো সংখ্যা বসিয়ে যদি “পরীক্ষা” করো দেখো, তাহলে দেখবে সংখ্যাগুলো -১.৬১৮ এর ধার ঘেঁষে চলেছে।
বি: দ্র: পরীক্ষাতে
-এর মান ০.৬১৮ নেওয়া চলবে না। অর্থাৎ ০.৬১৮ কে বাদ দিয়ে বাকি যেকোনো সংখ্যা নেওয়া যাবে।
এমন কেন হচ্ছে?
[৩]
১ থেকে ২০১৮ অবধি সংখ্যা গুলোকে যোগ করলে হয় ১০০৯*২০১৯ (কেন বলত?)।
অর্থাৎ যোগফলটা বিজোড়।
এবার মনে করো তুমি
কে মুছে দিলে প্রথম ধাপে। ধরা যাক
(দুটোর মধ্যে কোনো একটা বড় হবে আরেকটার চেয়ে, সেটাকেই নাম দাও
)। তাদের ফারাক হচ্ছে
।
এবার দেখা যাক এই মোছা লেখার ফলে যোগফলটার কি হাল হল।
আগে ছিল বিজোড় (২০১৯*১০০৯)। মুছে দিলে
বিজোড় সংখ্যা
= বিজোড়
তো একটা জোড় সংখ্যা। তাকে বিজোড় থেকে বাদ দিলে যা পড়ে থাকে তাও নিশ্চয় বিজোড়।
ব্যাস, খেল খতম! প্রতি ধাপে যোগফলটা বিজোড়ই থাকছে। শেষ ধাপে, যখন একটা সংখ্যা পড়ে থাকবে, তখন যোগফল হবে সেই সংখ্যাটাই। সেটাও নির্ঘাৎ বিজোড় হবে। তাকে দুই দিয়ে ভাগ দিলে পড়ে থাকবে ১।
