এবার ক্লাস ইলেভেন এ প্রশ্ন এসেছে নিউটনের দ্বিতীয় থেকে তৃতীয় সূত্র প্রতিষ্ঠা করো। ছেলে মেয়েদের কি করে বোঝাবো?   

নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্র থেকে প্রথম গতিসূত্র প্রমাণ কর, বা দ্বিতীয় গতিসূত্র থেকে তৃতীয় গতিসূত্র প্রমাণ কর – এমন প্রশ্ন বিভিন্ন স্কুলের পরীক্ষায় এমনকি সরকারি বোর্ডের পরীক্ষায় এসে থাকে। প্রশ্নগুলো যদি নিছক ছাত্রছাত্রীদের যাচাই করার জন্য হয়ে থাকে তাহলে সেটা অন্য বিষয়। কিন্তু, যদি সত্যিই প্রশ্নকর্তা মনে করেন যে এক গতিসূত্র থেকে আরেক গতিসূত্র প্রমাণ করা যায়, তাহলে তা খুবই দুর্ভাগ্যজনক।

শুধু নিউটনের প্রথম ও দ্বিতীয় গতিসূত্র ব্যবহার করে তৃতীয় গতিসূত্রকে প্রতিষ্ঠা করা সম্ভব নয়। সরলরৈখিক চলনের একটা উদাহরণ দিলে ব্যাপারটা পরিষ্কার হবে।

ধরা যাক একক ভরের একটা বল (ball) A একটা রেখার একপ্রান্তে স্থিরভাবে রাখা আছে। একদম একইরকম আরেকটা বল B, বাঁ দিক থেকে ডান দিকে যেতে যেতে v বেগ নিয়ে A বলটাকে ধাক্কা মারলো। এখন প্রশ্ন হচ্ছে ধাক্কার পরে  A আর B এর গতিবেগ কত? 

প্রথমে এই সমস্যাটার সমাধান কেবলমাত্র শক্তি সংরক্ষণ আর নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্র দিয়ে করি। (অর্থাৎ, ধরা যাক ভরবেগ যে সংরক্ষিত সে ব্যাপারটা আমরা জানি না।) আরও ধরা যাক যে ধাক্কা লাগার ঘটনাটা খুব তাড়াতাড়ি, T সময়ের মধ্যে  ঘটে।  

নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্র অনুসারে কোনো বস্তুতে বলের পরিমাণ, ওই বস্তুর ভরবেগ পরিবর্তনের হারের সমান। তাই যদি ধাক্কা লাগার পর A এর গতিবেগ v_a আর B এর গতিবেগ v_b হয়, তাহলে  A এর উপরে বলের (Force) পরিমান F_A= m(v_a-0)/T =mv_a/T আর B-এর উপরে বলের পরিমান F_b = m (v_b-v) /T। দ্বিতীয় গতিসূত্র থেকে এর বেশী আর কিছু জানা যায় না। তবে শক্তি সংরক্ষণের সূত্র, অর্থাৎ v_a²+ v_b² = v² ব্যবহার করলে A  আর B এর গতিবেগ সম্পর্কে খানিকটা ধারণা পাওয়া যায়। শক্তি সংরক্ষণের সূত্র বলে যে A আর B এর শেষ গতিবেগ v এর বেশি হতে পারবে না আর ওদের গতিবেগের বর্গের যোগফল v² এর সমান হতে হবে। অর্থাৎ (v_a =± v/2, v_b = ± √3 v/2),  (± v/√2, ± v/√2),  (0, ± v), (± v, 0), এগুলো সবই সম্ভাব্য সমাধান। কিন্তু এইসমস্ত সমাধানগুলোর মধ্যে কেবল একটাই সঠিক সমাধান আর সেটা জানতে দ্বিতীয় গতিসূত্রের সাথে সাথে তৃতীয় গতিসূত্রও ব্যবহার করতে হবে।  যদি দ্বিতীয় গতিসূত্র থেকে তৃতীয় গতিসূত্র পাওয়া যেত, তাহলে আমরা কেবল দ্বিতীয় গতিসূত্র ব্যবহার করেই এই সমস্যার সমাধান করে ফেলতে পারতাম।

তৃতীয় গতিসূত্র বলে যে এই দুই বলের পরিমান সমান এবং এদের অভিমুখ একে অপরের বিপরীত দিকে। তাই অংকের ভাষায়, F_A = – F_B । এবার এই সমীকরণটার সমাধান করে আমরা পাই

 v_a+v_b=v

এই সমীকরণটা  ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র ছাড়া আর কিছুই নয়।  তাই শক্তি সংরক্ষণ আর ভরবেগ সংরক্ষণ সূত্রের সমীকরণ দুটো সমাধান করে পাই v_a=0,  v_b=v অথবা v_a =v ,  v_b=0। খেয়াল করে দেখো, প্রথম সমাধানটা ধাক্কা লাগার আগের অবস্থা, তাই ধাক্কা লাগার পরে A এর গতিবেগ হবে v আর B এর গতিবেগ হবে শূন্য।

একইরকম ভাবে নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্র থেকে প্রথম গতিসূত্র পাওয়া যায় না।  প্রথম গতিসূত্র সব রেফারেন্স ফ্রেমে খাটে না। কিছু রেফারেন্স ফ্রেমে খাটে। তাহলে নিউটনের প্রথম সূত্র খাটে বা খাটে না এর উপর ভিত্তি করে রেফারেন্স ফ্রেম-কে আমরা দু’ভাগে ভাগ করতে পারি। নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র কেবল সেই ফ্রেমেই খাটে যেখানে প্রথম সূত্র খাটে। এই বিষয়ে বিস্তারিত আলোচনা রয়েছে নিউটনের সূত্র ও রেফারেন্স ফ্রেম লেখাতে।

(প্রচ্ছদের ছবির উৎস)